Ре­ше­ние. Объем куба равен кубу длины его сто­ро­ны, по­это­му длина a сто­ро­ны куба равна

Пусть пря­мая MK пе­ре­се­ка­ет ребро A₁B₁ в точке L. Со­еди­ним точки L и N, M и N, L и M. Плос­кость MLN  — ис­ко­мая. Из усло­вия сле­ду­ет, что У пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков MLA₁ и KLB₁ со­от­вет­ствен­но равны все углы, а также Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, а по­то­му точка L  — се­ре­ди­на ребра A₁B₁. Таким об­ра­зом, от­рез­ки ML, LN и MN  — сред­ние линии рав­ных тре­уголь­ни­ков AA₁B₁, A₁B₁D₁ и AA₁D₁ со­от­вет­ствен­но, а тре­уголь­ник MLN  — рав­но­сто­рон­ний. Длина x сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не длины диа­го­на­ли грани куба, то есть

Най­дем зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния:

Ответ: 78.